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La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el Siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el de infinito.
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Intuitivamente, un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos a S representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S, o lo que es lo mismo, el conjunto S contiene al elemento a. Un conjunto S está definido si dado un objeto a, se sabe con certeza si a pertenece a S, notado a ∈ S.
Una definición de este estilo es problemática desde el punto de vista formal, ya que al definir un conjunto por una propiedad llevó a la paradoja de Russell (al tomar A:={X| X no pertenece a X}, vemos que si A pertenece a A se debe cumplir que A no pertenezca a A, es decir, una propiedad y su negación se deben cumplir al mismo tiempo. Esto llevó a considerar varios desarrollos axiomáticos (como los de Zermelo-Frankel y von Neumann) que arreglaron este problema tan molesto de las paradojas (contradicción de la teoría). Supongamos que hay dos tipos de conjuntos: normales, que son los que no se contienen a si mismo como elementos; y anormales, que se contienen a si mismos como elementos. Para existir, un conjunto A tendría que ser de uno solo de los dos tipos.
Si pensamos en el conjunto V cuyos elementos son todos los conjuntos normales. Nos preguntamos: ¿V es normal o anormal? Si V fuese normal se contendría a si mismo como elemento (Ya que V esta formado por todos los conjuntos normales) y por tanto seria anormal, por definición se contendría a si mismo como elemento, luego sería normal (pues todos los elementos de V son normales).
¿Como salvamos semejante escollo? La contradicción es debida al hecho de suponer que la proposición "X es un conjunto y no es elemento de si mismo" determina un conjunto. Por esto se piensa en dos tipos de colecciones:
Entonces hay una distinción clara entre conjuntos y clases, en donde las clases que no sean conjuntos no pueden ser elementos de otras clases. Aparece la teoria axiomatica de conjuntos buscando dos fines: garantizar la existencia de un conjunto y asegurar las construcciones con conjuntos que den como resultado otros conjuntos.
Pero el desarrollo dado a continuación es el intuitivo, que puede ser el más natural para la mayoría de las personas del común.
Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos, ya sea de forma explícita, escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa. Por ejemplo,
S3 se describe como el conjunto de todas las x tales que x2 - 6x + 11 = 3.
Si todo elemento de un conjunto R pertenece también al conjunto S, R es un subconjunto de S, y S es un superconjunto de R; utilizando la notación, R ⊆ S. Todo conjunto es un subconjunto y un superconjunto de sí mismo. Si R ⊆ S, y al menos un elemento de S no pertenece a R, se dice que R es un subconjunto propio de S, y S es un superconjunto propio de R; se utiliza en este caso la notación R ⊂ S. Si R ⊆ S y S ⊆ R, es decir, todo elemento de un conjunto pertenece también al otro, entonces R y S son dos conjuntos iguales, lo que se escribe R = S. En los ejemplos del apartado anterior, S1 ⊂ S2.
Si A y B son dos subconjuntos de un conjunto S, los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos, forman otro subconjunto de S llamado unión de A y B, escrito A ∪ B. Los elementos comunes a A y B forman un subconjunto de S denominado intersección de A y B, escrito A ∩ B. Si A y B no tienen ningún elemento común se denominan conjuntos disjuntos ya que su intersección no tiene ningún elemento, y siendo conveniente representar esta intersección como otro conjunto, éste se denomina conjunto vacío o nulo y se representa con el símbolo Ø. Por ejemplo, si
entonces
El conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B se denomina conjunto diferencia entre A y B, escrito A - B (y a veces A\B). Así, siguiendo con el ejemplo anterior, A - B = {2}, B - A = {8, 10}. Si A es un subconjunto del conjunto B, el conjunto de los elementos que pertenecen a B pero no a A, es decir, B - A, se denomina conjunto complementario de A (con respecto a B), lo que se escribe B - A = A' (que también puede aparecer como à o ~A).
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera, entonces:
Sea U un conjunto tal que A, B, y C son subconjuntos de dicho U y se nota A' := U - A:
Sean A, B y C conjuntos, entonces:
Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, la cual es un caso particular del sistema algebraico conocido como Álgebra de Boole.
Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde a pertenece a A y b pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)} y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En este caso, A × B ≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1).
Dados dos conjuntos A y B (que pueden ser iguales o distintos), podemos preguntarnos sobre las formas como podemos "relacionar" los elementos de A con los de B.
Por ejemplo, los elementos del conjunto A = {1, 2, 3} se pueden relacionar o hacer corresponder mediante una correspondencia f con los del conjunto B = {x, y, z} de modo que a todo elemento de A le corresponda uno, ninguno o varios elementos de B.
Esto se puede expresar también así: f(1) = {x, z}, f(2) = Ø , f(3) = {z}. También se puede decir que f = {(1, x), (1, z), (3, z)}. Por tanto, una relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A × B.
En general, una relación o correspondencia entre un conjunto A y otro B es cualquier subconjunto de A × B. Nótese que esto incluye el caso del conjunto vacío. Cuando todo elemento de A esta relacionado con alguno de B se dice que ese subconjunto de A × B es una relación o correspondencia de A en B.
Cuando una correspondencia es tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo uno del segundo conjunto, entonces se llama aplicación o función (también llamadas aplicaciones o mapeos).
