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Logaritmo, en matemáticas, es el exponente o potencia a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para dar un número dado. Se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de x → 1/x que toma el valor 0 cuando la variable x toma el valor 1.
Equivalentemente, la función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial.
| Tabla de contenidos |
La derivada de la función x →xn es x →n.xn-1.
Dividiendo por n y mirando al revés la relación anterior, se puede afirmar que una primitiva de x →xm es x →1/(m+1). xm+1 (con m = n - 1). Este cálculo obviamente no es válido cuando m = - 1, porque no se podrá dividir por m + 1. Por lo tanto la función inversa x →x-1 = 1/x es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia". Pero esta función es continua sobre ]0; + ∞[ lo que implica que tiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre ] - ∞ ; 0[.
En resumen: ln' x = 1/x , y ln 1 = 0.
ln es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva, y tiene límites infinitos en 0+ y en +
∞.
La tangente Te que pasa por el punto de abcisa e de la curva, pasa también por el origen. La tangente T1
que pasa por el punto de abcisa 1 de la curva, tiene como ecuación: y = x - 1.
La derivada de segundo orden es ln"(x) = -1 / x2, siempre negativa, por lo tanto la función es concava, es decir que
todas las tangentes pasan por encima de la curva. Es lo que se constata con T1 y Te.
Ser una primitiva de la función inversa (1/x) trae ciertas ventajas, como la propiedad fundamental:
Esta propiedad fue la que permitió incialmente construir la función. Cuando no existían las calculadoras, se hacían tablas de
logaritmos cuyo propósito era hacer que calcular un producto fuese tan rápido como hallar una suma. En efecto, para calcular a
por b, se miraba en la tabla ln a, ln b, se los sumaba, y se miraba el número cuyo logaritmo se aproximaba más a ln a + ln
b.
La regla de cálculo utilizaba el mismo proceso.
Prueba: Sea f(x) = ln (ax) - ln x. Derivando: f'(x) = a·(1/ax) - 1/x = 1/x - 1/x = 0, lo que significa que f es
constante en el intervalo (0, + ∞). En consecuencia f(b) = f(1), es decir: ln ab - ln b = ln a -ln 1, o sea ln ab = ln a + ln
b.
consecuencias:
En efecto, ln(a) + ln (1/a) = ln (a· 1/a) = ln 1 = 0.
En efecto ln (a/b) = ln (a·1/b) = ln a + ln (1/b) = ln a - ln b.
Esto se demuestra por inducción para todo n entero natural, y luego para todo n entero, con (2), y luego para todo n racional, utilizando (3). La continuidad del logaritmo hace que una relación cierta en los racionales es también válida en los reales, gracias a que Q es denso en R, lo que acaba la prueba.
Esta última relación permite resolver ciertas ecuaciones con la incógnita en el lugar de las potencias: ax = b tiene como solución x = lnb/lna cuando a ≠ 1, a>0 y b>0.
Se llaman sistemas de ecuaciones logarítmicas a los sistemas de ecuaciones en los que la/s incógnita/s está sometida a la operación logaritmo.
Se resuelven como los sistemas ordinarios pero utilizando las propiedades de los logaritmos para realizar transformaciones convenientes.
Se llama logaritmo de base a la función x → ln x/ln a. Su recíproca es x → ax. El logaritmo natural corresponde a la base e, puesto que ln e = 1.
En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, notado log (log 10 = 1), en ciencias que emplean abundantemente las matemáticas, como la química (medida de la acidez :pH...), y en física: medida de la luminosidad, del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), en electrónica...
En informática se usa el logaritmo en base 2.
El método de logaritmos fue propuesto por primera vez en 1614, en un libro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, por John Napier (latinizado Neperus), Barón de Merchiston en Escocia, que nació cerca de 1550, y murió en 1618, cuatro años después de la publicación de su memorable invención. Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando cálculos difíciles que sin este avance no podrían haber sido hechos. Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, era constantemente usado en muestreo ('survying'), navegación, y otras ramas de las matemáticas prácticas. Además de su utilidad en el cómputo, los logaritmos también llenaron un importante lugar en las matemáticas avanzadas mayores.
La palabra logaritmo, que se debe a Napier, está formada de λογος (logos), razón, cociente, y αριθμ&omicronς (arithmos), número, y significa un número que indica un ratio o proporción. Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier su teorema fundamental, que la diferencia de dos logaritamos determina el ratio de los números por los cuales stand, de manera que una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números.
Nota: Esta sección histórica es una traducción de la misma sección del artículo 'Logarithm' http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm
Enlaces externos:
Si a > 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo.
Si 0 < a < 1
Los números menores que 1 tienen logaritmo positivo. Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo.
