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Lema de Euclides

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Enunciado

Si p es un numero primo y divide a un producto ab y es co-primo con uno de los factores entonces p divide al otro factor.

Demostración

Supongamos, sin perdida de generalidad, que p es co-primo con a y veamos que divide a b. Por definición, p y a son primos entre si (esto se puede abreviar como (a,p)=1) si y solo si, existen números enteros s y r tales que:

ar+ps=1

Que p divida a ab significa que existe un numero entero t tal que pt=ab.

Volviendo a la primera ecuación y multiplicando en ambos miembros por b, se obtiene:

b(ar+ps)=b

y, en consecuencia

bar+bps=b

Sabiendo que pt=ab, se obtiene

ptr+bps=b

sacando p como factor común, queda:

p(tr+bs)=b

como tr+bs es un número entero, se concluye que p divide a b, quedando así demostrado el Lema de Euclides.