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Élie Cartan

Élie Cartan (9 de abril 1869 - 6 de mayo 1951) fue un matemático Francés, quien hizo trabajos fundamentales en la teoría de grupos de Lie y sus usos geométricos. Nació en Dolomieu en Savoya, y devino estudiante de la École Normale en París en 1888. Después de su doctorado en 1894, tomó cargos en Montpellier y Lyon, haciéndose profesor en Nancy en 1903. Tomó cargos en París en 1909, y se convertía en profesor en 1912, se retiró en 1942. Murió en París. Fue padre del matemático Henri Cartan.

Por su propio criterio, el tema principal de sus trabajos (186 publicados a través del período 1893-1947) fue la teoría de grupos de Lie. Comenzó trabajando sobre el material fundacional de las [álgebra]]s de Lie simples complejas, ordenando el trabajo previo de Engel y Killing. Este resultó en la clasificación definitiva, con la identificación de las cuatro familias principales y de los cinco casos excepcionales. También introdujo el concepto de grupo algebraico, que no sería desarrollado seriamente antes de 1950.

Definió la noción general de forma diferencial antisimétrica, en el estilo ahora usado; su enfoque a los grupos de Lie con las ecuaciones de Maurer-Cartan requería 2-formas para su determinación. En aquella epoca, lo qué fueron llamados sistemas de Pfaff (es decir ecuaciones diferenciales de primer orden dadas como 1-formas) estaban en uso general; por la introducción de las variables nuevas para las derivadas, y formas adicionales, permitieron la formulación muy general de los sistemas de EDP. Cartan agregó la derivada exterior, como operación enteramente geométrica e independiente de las coordenadas. Lo que conduce naturalmente a la necesidad de discutir p-formas, de grado general p. Cartan escribe de la influencia en él de la teoría general de Riquier de EDP.

Con estos fundamentos - Grupos de Lie y formas diferenciales - produjo un cuerpo muy grande de trabajo, y también algunas técnicas generales por ejemplo marco móvil, que fueron incorporados gradualmente en la corriente principal de la matemática. En el Travaux, analiza su trabajo en 15 áreas. Usando terminología moderna, son éstas:

1. los grupos de Lie
2. las representaciones de grupos de Lie
3. los números hipercomplejos, las las álgebras de división
4. los sistemas de EDPs, teorema de Cartan-Kähler
5. teoría de equivalencia
6. los conjuntos integrables, teoría de prolongación y de los sistemas en involución
7. los grupos y pseudogrupos infinito-dimensionales
8. geometría diferencial y los marcos móviles
9. espacios generalizados con grupos de estructura y conexión, conexión de Cartan, holonomía, tensor de Weyl
10. geometría y topología de los grupos de Lie
11. geometría de Riemann
12. los espacios simétricos
13. la topología de grupos compactos y sus espacios homogéneos
14. invariantes integrales y mecánica clásica
15. relatividad, los espinores

Véase también:

• conexión de Cartan
• teoría de Einstein-Cartan