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Derivada exterior

En matemáticas, el operador de derivada exterior (o diferencial exterior) de la topología diferencial, amplía el concepto del diferencial de una función a formas diferenciales de un grado más alto. Fue inventado, en su forma actual, por Elie Cartan. La derivada exterior de una forma diferencial de grado k es una forma diferencial de grado k+1. La diferenciación exterior satisface tres propiedades importantes:

• linealidad

• la regla del producto cuña

• d² = 0, una fórmula que codifica la igualdad de las derivadas parciales cruzadas, de modo que siempre: d(dω) = 0.

Puede ser demostrado que la derivada exterior está determinada unívocamente por estas propiedades y su coincidencia con el diferencial en 0-formas (funciones).

Los casos especiales de la diferenciación exterior corresponden a los operadores diferenciales familiares del cálculo vectorial a lo largo de las mismas líneas que el diferencial corresponde a gradiente. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, el derivado exterior de una 1-forma corresponde al rotor y el derivado exterior de 2-formas corresponde a la divergencia. Esta correspondencia muestra más de una docena de fórmulas del cálculo vectorial como casos especiales de las tres reglas antedichas de la diferenciación exterior. El núcleo de d consiste en las formas cerradas, y la imagen en las formas exactas (cf. diferenciales exactos).