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Derivada de Lie

En matemáticas, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad M. El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma un álgebra de Lie infinito dimensional con respecto al corchete de Lie definido por [A, B] ≡ £_AB = -£_BA.

Las derivadas de Lie se representan por campos vectoriales, como generadores infinitesimales de flujos (difeomorfismos) en M. De manera inversa, el grupo de difeomorfismos de M tiene la estructura asociada de álgebra de Lie, de las derivadas de Lie, en una manera directamente análoga a la teoría grupo de Lie.

Derivada de Lie de campos tensoriales

En geometría diferencial, si tenemos un tensor diferenciable T de rango (p, q) (es decir una función lineal de secciones diferenciables, α, β, ... del T*M fibrado cotangente y X, Y, ... del TM fibrado tangente, T(α,β...,X,Y , ...) tales que para cualesquiera funciones diferenciables f₁...,f_p...,f_p+q, T(f₁α,f₂β...,f_p+1X,f_p+2Y, ...) = f₁f₂ ... f_p+1f_p+2 ... f_p+q T(α, β..., X, Y , ...)) y un campo vectorial (sección del fibrado tangente) A diferenciable, entonces la función lineal:(£_AT)(α, β, ..., X, Y, ...)≡∇_A T(α, β, ..., X, Y, ...) - ∇_{T(-,β...,X,Y,...)}A(α)-... + T(α,β...,∇_XA,Y,...)+... es independiente de la conexión ∇ que se utiliza, mientras sea libre de torsión, y es, de hecho, un tensor. Este tensor se llama la derivada de Lie de T con respecto a A.

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