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Función derivada

Sea f una función continua, y C su curva. Sea x = a la abscisa de un punto regular, es decir donde C no hace un ángulo. En el punto A(a, f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f´(a), el número derivado de f en a.

La función a → f´(a) es la derivada de f.

ROOPO en el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir f '(a), puede uno saber a que ritmo crece o decrece la función. El signo de f´(a) determina en función f (si crece o no).

En este gráfico se ve que donde f es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f´ es positiva, como en el punto D (x = d), mientras que donde f es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f´ es negativa, como en el punto B (x = b). En los puntos A y C, que son máximo y minimo local, la tangente es horizontal, luego f´(a) = 0 = f´(c).

Lo bueno de la función derivada es que se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, tenemos la fórmula:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}$

Por ejemplo, sea f(x) = x².

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 -x^2}{h}$

$.\qquad = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}(2x + h) = 2x$

Derivadas Notables

Función F: primitiva de f	función f: derivada de F
x ⁿ + k	nx ^n-1, para todo n ≠ 0
e ^x + k	e ^x
ln x + k	1 / x
1 / x ⁿ + k	-n / x ⁿ⁺¹
sen x	cos x
cos x	- sen x
tan x	sec² x
csc x	-(csc x)(cot x)
sec x	(sec x)(tan x)
cot x	-csc² x
a ^x, a>0	ln a . a ^x
√x	1 / 2√x
ax + b	a

Ejemplo

Sea f la función f(x) = 2x³ - 9x² - 24x + 51, definida sobre R. Para conocer sus variaciones miremos su derivada. f´(x) = 6x² - 18x + 24. Para encontrar el signo de f´ (x), tenemos que factorizarla: f´(x) = 6(x² - 3x - 4) = 6(x + 1)(x - 4) ( lo que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado).

En la tabla siguiente se establece los signos de los factores (descartando el factor 6, siempre positivo), luego el signo de la derivada, y para terminar las variaciones de la función f.

Véase también:

Categorías: Matemáticas

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