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Demostración por reducción al absurdo

La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento lógico muy empleado en las demostraciones matemáticas, y que consiste en dar por hecha una afirmación y, tras llegar a un resultado imposible, concluir que dicha afirmación inicial era falsa.

Un ejemplo es la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. La afirmación inicial es la contraria: imagínese que es un número racional, es decir, que

$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ , donde p y q son números enteros, y que q es distinto de 0. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que p y q son positivos (si los dos son negativos, basta con multiplicarlos por -1), y que son primos entre sí, es decir, que no comparten ningún factor común (en caso contrario, basta con dividirlos entre su máximo común divisor).

Elevando al cuadrado:

$2 = \frac{p^2}{q^2}$

Multiplicando por q²:

2q² = p²

La expresión 2q² es un número par, así que p² también lo es. Eso implica que p es par, porque, de no serlo, p² no sería par, con lo que no se podría cumplir la igualdad. Sea p = 2·n, donde n es un número entero. Así, la expresión queda:

2q² = (2n)² = 4n²

Simplificando, se tiene:

q² = 2n²

Por el mismo razonamiento de antes, 2n² es un número par, así que q² también es par, y q también es par.
Como p y q son los dos pares, eso quiere decir que tienen al menos un factor común, que es el 2. Esto entra en contradicción con la forma en que se han elegido los números p y q para que no tuvieran ningún factor común. Como esta elección de p y q se hizo sin pérdida de generalidad y el razonamiento posterior es correcto, eso quiere decir que la premisa inicial de que $\sqrt{2}$ era racional es falsa.
Luego $\sqrt{2}$ es irracional, C.Q.D.

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