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En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en este área.
La mayoría de estas demostraciones dependen de variantes del mismo error. El error consisten en usar una función f que no es biyectiva, para observar que f(x) = f(y) para ciertas x e y, concluyendo (erróneamente) que por tanto x = y. La división por cero es un caso particular: la función f es x → x × 0, y el paso erróneo es comenzar con x × 0 = y × 0 y con ello concluir que x = y.
| Tabla de contenidos |
Comenzamos con
Ahora, los convertimos en fracciones
Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos
Que equivale a
Pero ya que 
(ver número imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo
Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos
Y ya que tenemos como resultado
Q.E.D.
Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente principio de las raíces cuadradas:
Este principio sólo es correcto cuando tanto x como y son números positivos. En la "demostración" anterior, una de estas dos variables es un número negativo, lo que invalida toda la demostración.
Supongamos que
Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen monótonamente. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0, obtendremos
Dividir por ln x da como resultado
Q.E.D.
El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es erróneo porque el número por el que estamos dividiendo es negativo, lo que a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, por nuestra suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener 1 > 0, lo que es, por cierto, correcto.
Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:
| a | = | b |
| a2 | = | ab |
| a2 - b2 | = | ab - b2 |
| (a - b)(a + b) | = | b(a - b) |
| a + b | = | b |
| b + b | = | b |
| 2b | = | b |
| 2 | = | 1 |
Q.E.D.
La falacia se encuentra en la línea 5: el paso de la línea 4 a la 5 implica una división por a-b, que es cero ya que a equivale a b (por la suposición). Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.
Comenzamos con
Elevamos al cuadrado ambos lados
Como (a - b)(c) = c2 = ac - bc, podemos reescribirlo como
Si lo reordenamos, obtenemos
Factorizamos ambos miembros
Dividimos ambos miembros por (a - b -c)
Al final
Q.E.D.
El truco está en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que hemos realizado una división por cero, lo que invalida la demostración.
Lo siguiente es una "demostración" de que 0 es igual a 1
| 0 | = | 0 + 0 + 0 + ... | |
| = | (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... | ||
| = | 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... | (ley asociativa) | |
| = | 1 + 0 + 0 + 0 + ... | ||
| = | 1 |
Q.E.D.
El error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes. De hecho, es posible demostrar que en cualquier campo, 0 no es igual a 1.
