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Conjunto de Cantor

El conjunto de Cantor es, además de una curiosidad matématica, una paradoja, en el sentido usual, es decir que contradice una intuición universal relativa a tamaño de objetos geométricos.

Se construye así:

• El primer paso es tomar el intervalo [0, 1].
  
• El segundo paso es quitarle su tercio interior, es decir el intervalo abierto (1/3; 2/3).
  
• El tercero es quitar a los dos segmentos restantes sus respectivos tercios interiores, es decir los intervalos abiertos (1/9; 2/9) y (7/9; 8/9).
• Los pasos siguientes son idénticos: quitar el tercio de todos los intervalos que quedan. El proceso no tiene fin.
  

En la figura, se muestra la siete primeras etapas.

El conjunto de Cantor es el conjunto de los escasos puntos que quedan al final: 0 y 1, 1/3 y 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9, 1/27, ...bueno, escasos no lo son, porque hay una infinidad de puntos : los 1/3ⁿ están todos incluidos, con n describiendo los naturales.

Sin embargo, el conjunto es pequeño cuando se considera su longitud: el intervalo inicial [0,1] mide 1, y a cada paso, se le quita un tercio, lo que hace que su longitud se multiplique por 2/3. la sucesión geométrica u_n = (2/3)ⁿ tiende hacia cero, Por lo tanto el conjunto de Cantor mide cero. Y es lógico, porque no contiene ningún intervalo, los hemos destruido sistematicamente.

La paradoja es la siguiente:

El conjunto de Cantor está en biyección con el segmento [0, 1]: tiene tantos elementos como él.

Si se considera la escritura en base tres de los números, se nota que, al quitar siempre el segundo tercio de todos los segmentos, se suprime exactamente los números que tienen un 1 en su escritura trienal: el intervalo (1/3; 2/3) corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, 02222222222..... en base tres); el intervalo (1/9;2/9) corresponde a los números que empiezan por 0,01, el (7/9;8/9) por 0,21 y así succesivamente.

La biyección se contruye así: a cada número escrito con solo ceros y doses se le hace corresponder el número en base dos obtenido remplazando todos sus doses por unos. Por ejemplo, 0,2002 en base tres (que vale 2/3 + 2/81 = 56/81) tiene como imagen 0,1001 en base dos (que vale 1/2 + 1/16 = 9/16).
Se obtiene así todos los números en base dos que empiezan por 0,... y que tienen ceros o/y unos después de la coma: ¡es el intervalo [0,1] entero!