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Conjetura de Mertens

En teoría de números, si se define la función de Mertens como:

$M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)$

donde μ(k) es la función de Möbius, entonces la conjetura de Mertens postula que:

$\left| M(n) \right| < \sqrt { n }$

En 1885, Stieltjes afirmó haber demostrado este resultado, pero no publicó una demostración, probablemente porque descubrió que tenía un error.

La conjetura de Mertens es interesante, porque, si se demostrara su veracidad, eso implicaría que la famosa hipótesis de Riemann también es cierta. Sin embargo, en 1985, te Riele y Odlyzko demostraron que la conjetura de Mertens es falsa.

El nexo con la hipótesis de Riemann se basa en el hecho de que se puede derivar el resultado

$\frac{1}{\zeta(z)} = z \int_1^{\infty} \frac{M(x)}{x^{z+1}} dx$

donde ζ(z) es la función zeta de Riemann. La conjetura de Mertens significaría que esta integral converge para Re(z) > 1/2, lo que a su vez implicaría que 1/ζ(z) está definido para Re(z) > 1/2 y por simetría para Re(z) < 1/2. Así, los únicos ceros de ζ(z) estarían en Re(z) = 1/2, como dice la hipótesis de Riemann.

Categorías: Teoría de números

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