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Conexión (Matemáticas)

En geometría diferencial, la conexión es una manera de especificar la diferenciación covariante en una variedad diferenciable. La teoría de conexiones conduce a los invariantes de curvatura (véase también tensor de curvatura), y la torsión. Esto se aplica a los fibrados tangentes; hay conexiones más generales, en geometría diferencial: una conexión puede referirse a una conexión en cualquier fibrado vectorial o a una conexión en un fibrado principal.

En un acercamiento particular, una conexión es una 1-forma a valores en un álgebra de Lie que es un multiplo de la diferencia entre la derivada covariante y la derivada parcial ordinaria. Es decir, la derivada parcial no es una noción intrínseca en una variedad diferenciable: una conexión corrige el concepto y permite la discusión en términos geométricos. Las conexiones dan lugar a un transporte paralelo.

Hay un gran número de acercamientos posibles al concepto de conexión. Incluyen los siguientes:

• Un muy directo estilo módulo a la diferenciación covariante, indicando las condiciones que permiten a los campos vectoriales a actuar sobre secciones de fibrados vectoriales.
• La notación tradicional de índices especifica la conexión por los componentes, vea derivada covariante (tres índices, pero ésto no es un tensor).
• En geometría de Riemann hay una manera de derivar una conexión del tensor métrico (conexión de Levi-Civita).
• Usando fibrados principales y formas diferenciales a valores en un álgebra de Lie (véase conexión de Cartan).
• el acercamiento más abstracto puede ser el sugerido por Alexander Grothendieck, donde se considera una conexión como descenso de vecindades infinitesimales de la diagonal.

Las conexiones referidas arriba son conexiones lineales o afines. Hay también un concepto de conexión proyectiva; la forma más comúnmente de esto es derivado de Schwarz en análisis complejo. Vea también: conexión de Gauss-Manin