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Campo vectorial

Un campo vectorial asocia un vector a cada punto en el espacio; los vectores pueden cambiar punto a punto. Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física, por ejemplo para establecer la velocidad y la dirección de un líquido moviendosev en el espacio, o de la intensidad y dirección de una cierta fuerza, por ejemplo la fuerza magnética o gravitacional, pues cambia de punto a punto.

En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables: un campo vectorial es una sección del fibrado tangente de la variedad. Aunque la variedad subyacente es a menudo el espacio euclideo de 2 o 3 dimensiones (en cuyo caso es igual cada fibra tangente al mismo espacio euclidiano), otras variedades son también útiles: describir la distribución del viento en la superficie de la tierra por ejemplo requiere un campo vectorial en la esfera, una variedad de 2 dimensiones; el espacio-tiempo de la relatividad general es una variedad 4-dimensional; y el espacio de fase de un sistema físico complicado se modela a menudo como variedad de muy alta dimensión con un campo vectorial que indica cómo cambia el sistema en el tiempo.

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o un escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad). El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial. Las derivadas de un campo vectorial dando por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman la divergencia y el rotor respectivamente.

Campos vectoriales usuales

• un campo vectorial para el movimiento del aire en la tierra asociará a cada punto en la superficie de la tierra un vector con la velocidad y la dirección del viento en ese punto. Esto se puede dibujar usando flechas para representar el viento; la longitud (la magnitud) de la flecha será una indicación de la velocidad del viento. Una "colina" en la función de la presión barométrica usual actuaría, entonces, como fuente (flechas que salen), y un "valle" sera un sumidero (flechas que entran), puesto que el aire tiende a moverse desde las áreas de alta presión a las áreas de presión baja.

• campo de velocidad de un fluido en movimiento. En este caso, un vector de velocidad se asocia a cada punto en el fluido.

• las ecuaciones de Maxwell permiten que utilicemos un sistema dado de condiciones iniciales para deducir, para cada punto en el espacio euclideo, una magnitud y una dirección para la fuerza experimentada por una partícula de prueba cargada en ese punto; el campo vectorial que resulta es el campo electromagnético.

Ver también: curva integral de un campo vectorial.

Fuentes

• campos vectorial y líneas del campo