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C-estrella-álgebra

Las C^*-álgebras se estudian en análisis funcional y se utilizan en algunas formulaciones de la mecánica cuántica. Una C^*-álgebra es un álgebra de Banach sobre el cuerpo de los números complejos, junto con una función ^*: A A llamada involución que tiene las propiedades siguientes:

• (x + y)^* = x^* + y^* para todo x, y en A

• (x)^* = ^* x^* para cada en C y cada x en A; aquí, ^* significa la conjugación compleja de .

• (xy)^* = y^* x^* para todo x, y en 'A

• (x^*)^* = x para todo x en A

• la C* identidad:

||x x^*|| = ||x||² para todo x en A.

Las álgebras C* son también * álgebras.

Si se omite la última propiedad, hablamos de una B^*-álgebra.

Por el teorema de Gelfand-Naimark, las C^*-algebras son (módulo un isomorfismo) exactamente aquellas álgebras de operadores acotados en los espacios de Hilbert que son cerradas en la topología de la norma y bajo tomar adjuntos, con la función de involución dada por el tomar adjunto.

*-Homormorfismos y *-Isomorfismos

La función f: A B entre B^*-álgebras A y B se llama un*-homomorfismo si

• f es C-lineal

• f(xy) = f(x)f(y) para x y y en A

• f(x^*) = f(x)^* para x en A.

Tal función f es automáticamente continua. Si f es biyectiva, entonces su inversa es también un *-homorfismo y f se llama un *-isomorfismo y A y B se dicen *-isomorfos. En ese caso, A y B son para todos los propósitos prácticamente iguales; se diferencian solamente en la notación de sus elementos. La estructura de una C^*-álgebra fuerza cualesquiera *-homomorfismos a ser contractivos; y un homomorfismo es inyectivo si y solamente si es isométrico.

Ejemplos de C^*-álgebras

El álgebra de n-por-n matrices sobre C se convierte en una C^*-álgebra si utilizamos la norma de la matriz ||.||₂ que surge como la norma de operador de la norma euclidiana en Cⁿ. La involución viene dada por la traspuesta conjugada. El ejemplo motivante de una C^*-álgebra es el álgebra de los operadores lineales continuos definidos en un espacio de Hilbert complejo H; aquí x^* denota el operador adjunto del operador x: HH. De hecho, cada C^*-álgebra es *-isomorfa a una subálgebra cerrada de tal álgebra de operadores para un espacio de Hilbert H conveniente; éste es el contenido del teorema de Gelfand-Naimark.

Un ejemplo de una C^*-álgebra conmutativa es el álgebra C(X) de todas las funciones continuas complejo-valoradas definidas en un compacto Hausdorff X. Aquí la norma de una función es el supremo de su valor absoluto, y la operación estrella es la conjugación compleja. Cada C^*-álgebra conmutativa con elemento unidad es *-isomorfa a una tal álgebra C(X) usando la representación de Gelfand.

Si uno parte de un espacio localmente compacto de Hausdorff X y considera las funciones continuas complejo-valoradas en X que se anulan en el infinito (definido en el artículo sobre la compacidad local), entonces éstas forman una C^*-álgebra conmutativa C₀(X); si X no es compacto, entonces C₀(X) no tiene elemento unidad. Una vez más la representación de Gelfand demuestra que cada C^*-álgebra conmutativa es *-isomorfa a una álgebra de la forma C₀(X).

Álgebras de von Neumann

Las álgebras de von Neumann, conocidas como W* álgebras antes de los años 60, es una clase especial de C* álgebras. Se les requiere ser cerradas en una topología que es más débil que la topología de la norma. Su estudio es una rama en sí misma de las matemáticas, a parte de las C^*-álgebras.

C^*-álgebras y la teoría cuántica de campos

En teoría cuántica de campos, se describe típicamente un conjunto físico con una C^*-álgebra A con elemento unidad; los elementos auto-adjuntos de A (elementos x con x^* = x) se interpretan como observables, las cantidades medibles, del sistema. Un estado del sistema se define como una funcional positiva en A, una función C-lineal ;: A C con (u, u^*) > 0 para todo u A, tal que (1) = 1. El valor esperado del observable x, si el sistema está en el estado , es entonces (x).

Ver física local cuántica.

Ver también álgebra, álgebra asociativa, * álgebra, B* álgebra.